** Étude de la fonction tangente

Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
On définit la fonction tangente  pour tout réel  `x`  différent de \(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) , où  \(k\)  est un entier relatif, par \(\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\) .

1. Montrer que la fonction tangente est \(\pi\) -périodique.

On se place désormais sur  \(\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[\) .

2. a. Déterminer les limites de la fonction tangente aux bornes de son  ensemble de définition.
    b. Que peut-on en déduire graphiquement ?

3. Étudier la parité de la fonction tangente sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[\) .

4. a. On admet que la fonction tangente est dérivable sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[\) . Calculer \(\tan'(x)\) .
    b. En déduire les variations de la fonction tangente sur l'intervalle \(\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[\) .
    c. Dresser le tableau complet des variations de la fonction tangente sur l'intervalle \(\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[\) .